Калькулятор треугольника 45 45 90

Что такое треугольник 45 45 90?

Треугольник 45 45 90, также известный как равнобедренный прямоугольный треугольник, обладает уникальными свойствами, которые делают его объектом особого интереса в геометрии. Это один из типов специальных треугольников, углы которого составляют 45°, 45° и 90°. Такой треугольник является симметричным и, следовательно, его два катета равны между собой.

Особенности

Данное геометрическое фигура привлекает внимание своим простым, но элегантным строением. Основные особенности включают:

• Равенство катетов: В таком треугольнике катеты равны между собой, что упрощает процессы его изучения и расчета.

• Пропорции сторон: Длина гипотенузы в этом треугольнике равна произведению длины катета и корня из двух ($c = a\sqrt{2}$, где $a$ — длина катета, $c$ — длина гипотенузы).

• Прямой угол: Гипотенуза всегда противостоит углу в 90°, что важно для вычислений с помощью тригонометрии.

Свойства треугольника 45 45 90

• Симметрия: Из-за равенства углов и катетов, этот треугольник обладает симметрией, что упрощает его анализ. Так, треугольник симметричен относительно биссектрисы угла в 90°, позволяя использовать свойства зеркального отражения.

• Тригонометрические функции: Синус и косинус углов 45° равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (или примерно 0.7071).

• Площадь и периметр: Площадь и периметр также легко вычислить благодаря простым пропорциям и формулам.

Формулы

Формулы с известным катетом

Если нам известен катет $a$, то можно найти гипотенузу, площадь и периметр по следующим формулам:

1. Гипотенуза: $c = a\sqrt{2}$
2. Площадь: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$
3. Периметр: $\text{P} = 2a + a\sqrt{2}$

Формулы с известной гипотенузой

Если нам известна гипотенуза $c$, то можно найти катет, площадь и периметр по следующим формулам:

1. Катет: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$
2. Площадь: $\text{S} = \frac{c^2}{4}$
3. Периметр: $\text{P} = 2 \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) + c = c \left(1 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = c(1 + \sqrt{2})$

Формулы с известной площадью

Если нам известна площадь $S$, то можно найти катет, гипотенузу и периметр по следующим формулам:

1. Катет: $a = \sqrt{2 \times \text{S}}$
2. Гипотенуза: $c = \sqrt{4 \times \text{S}}$
3. Периметр: $\text{P} = 2a + c = 2\sqrt{2} \times \text{S} + \sqrt{4 \times \text{S}}$

Формулы с известным периметром

Если нам известен периметр $P$, то можно найти катет, гипотенузу и площадь по следующим формулам:

1. Катет: $a = \frac{\text{P}}{2 + \sqrt{2}}$
2. Гипотенуза: $c = \sqrt{2} \times a$
3. Площадь: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$

Примеры расчетов

Пример 1: Известен катет

Допустим, катет треугольника равен 5 см. Найдем гипотенузу, площадь и периметр:

1. Гипотенуза: $c = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ см
2. Площадь: $\text{S} = \frac{5^2}{2} = 12.5$ кв. см
3. Периметр: $\text{P} = 2 \times 5 + 5\sqrt{2} \approx 17.07$ см

Пример 2: Известна гипотенуза

Если гипотенуза треугольника составляет 10 см, найдем катет, площадь и периметр:

1. Катет: $a = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07$ см
2. Площадь: $\text{S} = \frac{10^2}{4} = 25$ кв. см
3. Периметр: $\text{P} = 10 + 2 \times 7.07 \approx 24.14$ см

Пример 3: Известна площадь

Предположим, что площадь треугольника 45 45 90 равна 18 кв. см. Найдем длину катета, гипотенузу и периметр:

1. Катет: $a = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$ см
2. Гипотенуза: $c = 6\sqrt{2} \approx 8.49$ см
3. Периметр: $\text{P} = 2 \times 6 + 6\sqrt{2} \approx 20.49$ см

Пример 4: Известен периметр

Допустим, что периметр треугольника 45 45 90 составляет 24 см. Найдем длины катета, гипотенузы и площадь:

1. Катет: $a = \frac{24}{2 + \sqrt{2}} \approx 7.03 \text{ см}$
2. Гипотенуза: $c = 7.03 \cdot \sqrt{2} \approx 9.94$ см
3. Площадь: $\text{S} = \frac{7.03^2}{2} \approx 24.71$ кв. см

Заметки

• Треугольник 45 45 90 является основополагающим элементом в геометрии и тригонометрии, часто используемым в решении задач и построении моделей.
• Из-за своих простых отношений и пропорций, этот треугольник часто встречается в архитектуре и дизайне, а также в естественных формах и структурах.

Часто задаваемые вопросы

Как найти катет, если известна гипотенуза?

Если известна гипотенуза $c$, катет $a$ можно найти через формулу: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$.

Почему гипотенуза равна $a\sqrt{2}$?

Гипотенуза равна $a\sqrt{2}$ благодаря применению теоремы Пифагора и равенству катетов. Теорема гласит: $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, отсюда $c = a\sqrt{2}$.

Как найти площадь треугольника, если известен катет?

Если известен катет $a$, площадь можно найти по формуле: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$.

Существует ли треугольник с углами, отличающимися от 45 45 90, с такими же свойствами?

Нет, только 45 45 90 треугольник обладает такими уникальными свойствами равенства катетов и простыми отношениями между гипотенузой и катетами.