Калькулятор объема усеченной пирамиды

Что такое усечённая пирамида?

Усечённая пирамида — это геометрическое тело, образованное путём срезания вершины пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. В результате получаются два параллельных многоугольных основания (нижнее и верхнее) и боковые грани в форме трапеций. Усечённые пирамиды встречаются в архитектуре, инженерии и бытовых предметах, таких как вёдра или абажуры.

Формула объёма усечённой пирамиды

Объём $V$ усечённой пирамиды можно рассчитать, используя площади оснований и высоту (перпендикулярное расстояние между основаниями). Формула имеет вид:

Где:

• $S_1$ = Площадь нижнего основания
• $S_2$ = Площадь верхнего основания
• $h$ = Высота усечённой пирамиды

Формула применима только при условии, что срез параллелен основанию, а оба основания являются подобными фигурами (например, квадратами или прямоугольниками).

Примеры расчётов

Пример 1: Квадратные основания

Задача:
Усечённая пирамида имеет нижнее основание площадью $100 \, \text{см}^2$, верхнее основание площадью $25 \, \text{см}^2$ и высоту $12 \, \text{см}$. Найдите её объём.

Решение:

1. Подставляем значения в формулу: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \left( 100 + 25 + \sqrt{100 \cdot 25} \right)$$
2. Упрощаем квадратный корень: $$\sqrt{2500} = 50$$
3. Складываем значения: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 175 = 4 \cdot 175 = 700 \, \text{см}^3$$

Пример 2: Прямоугольные основания

Задача:
Усечённая пирамида имеет нижнее основание $8 \, \text{м} \times 6 \, \text{м}$, верхнее основание $4 \, \text{м} \times 3 \, \text{м}$ и высоту $5 \, \text{м}$. Вычислите объём.

Решение:

1. Находим площади оснований: $$S_1 = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{м}^2, \quad S_2 = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{м}^2$$
2. Подставляем в формулу: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left( 48 + 12 + \sqrt{48 \cdot 12} \right)$$
3. Упрощаем квадратный корень: $$\sqrt{576} = 24$$
4. Суммируем значения: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 84 = 140 \, \text{м}^3$$

Историческая справка и применение

Усечённые пирамиды известны с древности:

• Египетские пирамиды иногда имели усечённые вершины по религиозным или конструктивным причинам.
• Месопотамские зиккураты напоминали ступенчатые усечённые пирамиды.

Современные примеры использования:

• Архитектура: Проектирование световых колодцев.
• Инженерия: Расчёт объёмов материалов для труб или дымоходов.
• 3D-моделирование: Создание сложных геометрических форм.

Частые ошибки

1. Путаница между высотой и длиной бокового ребра: Высота $h$ — это перпендикуляр между основаниями, а не наклонная грань.
2. Непараллельные основания: Формула работает только для параллельных оснований.
3. Разные единицы измерения: Все величины должны быть в одной системе (например, метры или сантиметры).

Площадь основания

Для того, чтобы вычислить площадь основания усеченной пирамиды, если известны параметры основания, то можно воспользоваться нашими калькуляторами для вычисления площади:

• Площадь квадрата
• Площадь прямоугольника
• Площадь треугольника
• Площадь правильного многоугольника
• Площадь трапеции

Часто задаваемые вопросы

Как конвертировать единицы перед расчётом?

Например, если $S_1 = 2 \, \text{м}^2$, а $S_2 = 1500 \, \text{см}^2$, переведите $S_2$ в $0.15 \, \text{м}^2$. Для перевода единиц измерения площади, воспользуйтесь нашим конвертером единиц измерения площади.

Почему в формуле используется квадратный корень?

Член $\sqrt{S_1 \cdot S_2}$ отражает среднее геометрическое площадей оснований, учитывая их пропорциональное изменение по высоте.

Чему равен объем четырехугольной усеченной пирамиды с основаниями 10х10 см и 5х5 см и высотой 7 см?

Объем усеченной пирамиды равен 408.33 см³.