Çokyüzlü hacim hesaplayıcı

Çokyüzlü hacim hesaplayıcı nedir?

Çokyüzlü hacim hesaplayıcı, iki farklı kritere dayalı olarak bir şeklin hacmini hesaplamanızı sağlar:

1. Köşe noktaları bir dikdörtgenler prizmasının noktaları olan bir çokyüzlünün hacmi;
2. İki bağlı dikdörtgenler prizmasından oluşan karmaşık bir şekil; bu, iki dikdörtgen prizmanın oluşturduğu 3 boyutlu şeklin toplam hacmini hesaplar.

Formüller

Dikdörtgenler prizması içine yerleştirilmiş çokyüzlü için formül

Öncelikle, dikdörtgenler prizmasının içine yerleştirilmiş çokyüzlünün türünü belirleyin:

1. Çokyüzlü bir piramitse (örneğin, taban dikdörtgenler prizmasının bir yüzündedir ve köşe zıt köşededir), hacim şu şekilde hesaplanır:

burada $S$ taban alanı ve $h$ yükseklik (köşeden tabana olan mesafe) anlamına gelir.

2. Çokyüzlü bir prizmaysa (örneğin, iki paralel yüz arasındaysa), hacim şu şekildedir:

burada $S$ taban alanı ve $h$ prizmaların yüksekliğidir.

Karmaşık çokyüzlü için formül

Bir karmaşık çokyüzlünün toplam hacmi $V$ şu şekilde hesaplanır:

Nerede:

• $L_1$ ve $L_2$: birinci ve ikinci dikdörtgenler prizmasının uzun kenarları (uzun kenarlar).
• $W_1$ ve $W_2$: iki dikdörtgenler prizmasının kısa kenarları.
• $H$: ortak yükseklik.

Adım adım örnekler

Örnek 1: Dikdörtgenler prizmasının köşelerine göre çokyüzlü hacmi

Aşağıda verileri verilen dikdörtgenler prizmasının köşeleri $A, D, A_1, B, C, B_1$ olan çokyüzlünün hacmini bulun. Veriler: $ABCDA_1B_1C_1D_1$ dikdörtgenler prizması, $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$, ta buna göre; $ABCD$ dikdörtgen taban, $A_1B_1C_1D_1$ ise bu tabanın tam üzerindeki paralel üst tabandır.

1. Dikdörtgenler prizmasının içine yerleştirilmiş şeklin bir üçgen prizma olduğunu belirleyelim.

2. Prizmanın taban alanını hesaplayalım:

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. Prizmanın hacmini bulalım:

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ Bu örnekte prizmanın yüksekliği, $AB$ kenarının uzunluğuna eşittir.

Not: İncelenen bu örnekte prizma, dikdörtgenler prizmasının hacminin tam 1/2’si kadar hacme sahiptir ve elde edilen sonuç, dikdörtgenler prizmasının hacmi hesaplanarak doğrulanabilir: $V = 3 \times 4 \times 5 = 60$, bunun yarısı 30’dur.

Örnek 2: L şeklinde bir masa hacmi

Bir masanın parametreleri:

• Ana kısım: $L_1 = 1,8\ \text{m}$, $W_1 = 0,7\ \text{m}$
• Uzantı: $L_2 = 1,2\ \text{m}$, $W_2 = 0,6\ \text{m}$
• Yükseklik $H = 0,75\ \text{m}$

Hesaplama:

Tarihsel arka plan

Çokyüzlülerin çalışması Antik Yunan’da başladı; burada Euclid ve Arşimet özelliklerini araştırdı. “Çokyüzlü” terimi Yunanca poly (çok) ve hedra (yüz) kelimelerinden türemiştir. Bağlı prizmalar gibi karmaşık çokyüzlüler, Rönesans döneminde kemer kemerler ve payandalar gibi karmaşık mimari unsurları analiz etmek için önem kazandı.

Uygulamalar

1. Mimari: Çok düzeyli yapılar için malzeme hesaplama.
2. Lojistik: Çok bölmeli konteynır tasarımı.
3. Üretim: Karmaşık şekillere sahip ekipmanlar için alan tahmini.

Notlar

• Tüm ölçümler aynı ölçü biriminde olmalıdır (metre, fit, vb.).
• Karmaşık şekiller için formül, ortak yükseklik varsayar. Yükseklikler farklıysa, hacimleri ayrı ayrı hesaplayın ve toplayın:

• Bu hesaplayıcı yalnızca dikdörtgenler prizması için çalışır. Karmaşık şekiller için Hacim Hesaplayıcımızı kullanın.
• Paralelepiped içine yerleştirilmiş çokyüzlüler için hesaplayıcı, paralelepiped boyutları bilindiğinde 4-6 belirli köşeli figürleri destekler.

Sıkça Sorulan Sorular

Prizma yükseklikleri farklıysa hacim nasıl hesaplanır?

Farklı yükseklikler için $H_1$ ve $H_2$, hacimleri ayrı ayrı hesaplayın ve toplayın:

Örnek: $L_1 = 4\ \text{m}$, $W_1 = 2\ \text{m}$, $H_1 = 3\ \text{m}$; $L_2 = 3\ \text{m}$, $W_2 = 1\ \text{m}$, $H_2 = 2\ \text{m}$:

Zaten yukarıda veriyası olan dikdörtgenler prizmasının köşeleri $A, B, C, B_1$ olan çokyüzlünün hacmini bulun; değerler: $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

Bu durumda, $ABCD$ ‘in dikdörtgen alt taban olduğunu varsayıyoruz ve $A_1B_1C_1D_1$ üst tabanın tam olarak alt tablaların üzerine konumlanmış tam olarak karşılık gelen noktalar üzerinde olduğunu düşünüyoruz.

Çözüm adımları:

1. Dikdörtgenler prizmasının içerisine yerleştirilmiş şeklin aşağıdaki bilgilere sahip üçgen bir piramit olduğunu belirleyelim: AB = 3, BC = 3 (AD’ye paralel bir kenar) ve yükseklik BB1 = 4 (AA1 ile paralel bir kenardır).

2. Piramidin taban alanını hesaplayalım:

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$

3. Piramidin hacmini bulalım:

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4,5 \times 4 = 6$

$A, B, C, B_1$ köşelerine sahip çokyüzlünün hacmi 6’dır.

Hesaplayıcı nasıl kullanılır?

1. Çokyüzlü türünü seçin: “Bir dikdörtgenler prizması içine yerleştirilmiş çokyüzlü” veya “Karmaşık çokyüzlü”.
2. Köşe sayısını seçin.
3. Dikdörtgenin uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini girin.
4. Hesaplayıcı hacmi otomatik olarak hesaplayacaktır.

Karmaşık çokyüzlüler eski mimaride kullanıldı mı?

Evet. Örneğin, Roma’daki Kolezyum’un temeli, yükü düzensiz arazi üzerinde dağıtmak için trapezoid ve dikdörtgen bloklar birleştirmiştir.