30 60 90 üçgen hesaplayıcı

30 60 90 üçgen nedir?

30 60 90 üçgen, benzersiz özelliklere sahip olan ve bu sayede matematik ve pratik uygulamalar açısından geometrik olarak önemli hale gelen özel bir tür dik üçgendir. Açıları ölçüleri 30°, 60° ve 90° olup, bu özel açılar oranı belirli yan oranları garanti eder. Bu oranlar sayesinde, 30 60 90 üçgeni genellikle mühendislik, mimarlık ve çeşitli hesaplamalarda kullanılmaktadır.

30 60 90 üçgenin özellikleri ve özellikleri

1. Taraf oranları:

   • 30° açısına karşı gelen kenar hipotenüsün yarısıdır.
   • 60° açısına karşı gelen kenar hipotenüsün $\sqrt{3}$ katı olan yarısıdır.

2. Birim oranları:

   • Eğer hipotenüs uzunluğu $c$ ise, 30° açısına karşı gelen kenar uzunluğu $\frac{c}{2}$ olacaktır.
   • 60° açısına karşı gelen kenarın uzunluğu $\frac{c \sqrt{3}}{2}$ olacaktır.

Bu net oranlar sayesinde, 30 60 90 üçgeninin kenarlarını bulmayı içeren herhangi bir problem kolayca ve hassas bir şekilde çözülür.

Formüller

Bu özelliklerin çeşitli üçgen parametrelerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini keşfedelim.

1. Eğer 30° açısına karşı kenar $a$ biliniyorsa:

• Hipotenüs $c$:

  $$c = 2a$$

• Alan $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• Çevre $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3})a$$

2. Eğer hipotenüs $c$ biliniyorsa:

• Kenar $a$:

  $$a = \frac{c}{2}$$

• Diğer kenar $b$ (60° açısına karşı):

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

• Alan $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

• Çevre $P$:

  $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2}$$

3. Eğer çevre $P$ biliniyorsa:

• Kenar $a$:

  $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Hipotenüs $c$:

  $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Alan $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3 + \sqrt{3}}\right)^2$$

4. Eğer alan $S$ biliniyorsa:

• Kenar $a$:

  $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

• Hipotenüs $c$:

  $$c = 2a = 2\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}$$

• Çevre $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

Örnekler

Örnek 1: Bilinen kenar $a = 4$

1. Hipotenüs $c$:

   $$c = 2a = 2 \cdot 4 = 8$$

2. Alan $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \approx 6.93$$

3. Çevre $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3})a = (3 + \sqrt{3}) \cdot 4 = (3 + 1.732) \cdot 4 \approx 4 \cdot 4.732 \approx 18.93$$

Örnek 2: Bilinen hipotenüs $c = 10$

1. Kenar $a$:

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

2. Diğer kenar $b$:

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66$$

3. Alan $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 100 = 12.5\sqrt{3} \approx 21.66$$

4. Çevre $P$:

   $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2} = \left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot 5 \approx (2 + 1.732) \cdot 5 \approx 3.732 \cdot 5 \approx 18.66$$

Örnek 3: Bilinen çevre $P = 30$

1. Kenar $a$:

   $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{30}{3 + 1.732} \approx \frac{30}{4.732} \approx 6.34$$

2. Hipotenüs $c$:

   $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 30}{3 + 1.732} \approx \frac{60}{4.732} \approx 12.66$$

3. Alan $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{30}{3 + \sqrt{3}}\right)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 40.12 \approx 17.32$$

Örnek 4: Bilinen alan $SA = 10$

1. Kenar $a$:

   $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{23.09} \approx 4.8$$

2. Hipotenüs $c$:

   $$c = 2a \approx 2 \cdot 4.8 \approx 9.6$$

3. Çevre $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3}) a = (3 + 1.732) \cdot 4.8 \approx 4.732 \cdot 4.8 \approx 22.69$$

Sıkça Sorulan Sorular

Hipotenüs biliniyorsa kenar nasıl bulunur?

Eğer hipotenüs$c$biliniyorsa, 30° açısına karşı gelen kenar$a$ $\frac{c}{2}$, ve 60° açısına karşı gelen kenar$b$ $\frac{c \sqrt{3}}{2}$ olacaktır.

Bu üçgen mimarlık ve diğer alanlarda kullanılabilir mi?

Evet, istikrarı ve hesaplamalardaki sadeliğinden dolayı mimarlık ve tasarımda sıkça kullanılır. 30 60 90 üçgeni çeşitli düzenlerde, inşaatlarda ve hatta üç boyutlu figürlerin oluşturulmasında kullanılır.

Bu tür bir üçgeni kullanmanın avantajları nelerdir?

Yapı tasarımında kolay hesaplamalara olanak tanır ve sonuç doğruluğunu garanti eder.

45 45 90 üçgen için benzer değerler nasıl hesaplanır?

Başka bir tür dik üçgen - 45 45 90 ile benzer hesaplamalar için, bu hesaplayıcı kullanabilirsiniz.