Üçgen Piramit Hacim Hesaplayıcı

Üçgen piramit nedir?

Üçgen piramit, bir diğer adıyla tetrahedron, tabanı üçgen olan ve tepe noktası tabanın düzleminde olmayan, bir noktada birleşen üçgen yüzeylere sahip üç boyutlu bir geometrik şekildir. Üçgen piramit, dört üçgen yüzey, altı kenar ve dört tepe noktası içeren bir çokyüzlü türüdür.

Üçgen piramit hacmi formülü

Üçgen piramitin hacmi, piramidin bilinen parametrelerine bağlı olarak çeşitli yöntemlerle bulunabilir:

1. Taban alanı ve yüksekliğe dayalı hacim

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{taban}} \times H$ Nerede:

• $S_{\text{taban}}$ üçgen tabanın alanıdır
• $H$ tepeye kadar tabandan piramidin yüksekliğidir

2. Tabanın üç kenarı bilindiğinde hacim

Taban, üçgenin üç kenarı $a$, $b$ ve $c$ bilindiğinde ve $H$, piramidin yüksekliği verildiğinde, taban alanını Heron Formülü ile hesaplarız:

1. Yarı çevre $s$ hesapla: $s = \frac{a + b + c}{2}$
2. Taban alanı için Heron Formülü kullanılır $S_{\text{taban}}$: $S_{\text{taban}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
3. Taban alanını hacim formülüne yerleştirin: $V = \frac{1}{3} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times H$

3. İki kenar ve aradaki açı bilindiğinde hacim

Tabandaki iki kenar $a$ ve $b$ ve aradaki açı $\alpha$ bilindiğinde: $S_{\text{taban}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)$ Daha sonra alanı hacim formülünde kullanın.

4. Bir kenar ve iki komşu açı bilindiğinde hacim

Tabandaki kenar $b$ ve iki komşu açısı, $\alpha$ ve $\beta$, bilindiğinde, taban alanını bulmak için Sinüs Kuralını kullanabilirsiniz: $S_{\text{taban}} = \frac{b^2 \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)}{2 \times \sin(\alpha + \beta)}$ Bu $S_{\text{taban}}$ değerini hacim formülünde kullanın.

5. Taban yüksekliği ve kenar bilindiğinde hacim

Taban yüksekliği $h_{\text{taban}}$ ve tabanın kenarı $b$ verildiğinde: $S_{\text{taban}} = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{taban}}$ Aynı hacim denklemine dahil edin.

Doğru ve yanlış üçgen piramitleri anlama

Düzenli üçgen piramit (tetrahedron)

Düzenli bir tetrahedron, tüm kenarların eşit ve tüm yüzlerin düzenli üçgen olduğu bir üçgen piramittir. Kenar uzunluğu $a$ ise, hacmi şu formülle hesaplanır: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$

Not: Bazı kaynaklarda “düzenli üçgen piramit” terimi, tabanda düzenli bir üçgen olan ve eşit kenarlarla eş olan bir piramiti ifade eder. Bu durumda hacim formülü piramidin yüksekliğine ve taban alanına bağlı olacaktır.

Düzensiz (veya yanlış) üçgen piramit

Düzensiz bir üçgen piramit, uzunlukları ve açılarında veya kenar ölçümlerinde tekdüzelik göstermeyen kenarlara sahiptir. Hacim hesabı, farklı kenar uzunlukları ve buna karşılık gelen yükseklikler gibi bilinen ölçümlere dayanır.

Üçgen piramitin köşe koordinatları biliniyorsa

Üçgen piramitin köşe koordinatları biliniyorsa, tetrahedron hacim hesaplayıcısı kullanarak alternatif bir yöntem kullanabilirsiniz. Üç boyutlu uzayda köşe noktalarının koordinatlarını belirleyerek, vektör matematiği kullanarak hesaplamak mümkündür. Bu araç, piramidin yüksekliği ve taban alanının net ölçümlerine uymadığı durumlarda faydalıdır.

Hacim hesaplaması örnekleri

Örnek 1: Bilinen taban alanı ve yükseklik

Üçgen taban alanı $6 \, \text{cm}^2$ ve piramit yüksekliği $9 \, \text{cm}$ için hacmi hesaplayalım. $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18 \, \text{cm}^3$

Örnek 2: Üç bilinen kenarla hacim

Verilen kenar uzunlukları $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$ ve piramit yüksekliği $10 \, \text{cm}$:

1. Yarı çevreyi hesapla $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. Taban alanı $S_{\text{taban}} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}^2$
3. Hacim $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20 \, \text{cm}^3$

Örnek 3: Bilinen iki kenar ve aradaki açı

Üçgen taban için $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, açı $\theta = 60^\circ$ ve piramit yükseklik $8 \, \text{cm}$:

1. Taban alanı $S_{\text{taban}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2$
2. Hacim $V = \frac{1}{3} \times \frac{15\sqrt{3}}{2} \times 8 = 20\sqrt{3} \, \text{cm}^3$

Sıkça Sorulan Sorular

Taban alanı ve yüksekliği biliniyorsa üçgen piramidin hacmi nedir?

Üçgen piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

Bir piramitin kaç üçgen yüzeyi vardır?

Bir üçgen piramit, taban ve üç yan yüzey olmak üzere dört üçgen yüzeyden oluşur.

Bir üçgen piramit yatay bir tabana sahip olabilir mi?

Evet, üçgen piramitin tabanı genellikle geleneksel çizimlerde yataydır, ancak gerçekte başka bir referans düzlemine göre herhangi bir konumda yer alabilir.

Üçgen piramit ile tetrahedron arasındaki fark nedir?

Tetrahedron, dört üçgen yüzü olan bir çokyüzlüdür ve düzenli (tüm kenarlar ve açılar eşittir) veya düzensiz olabilir. Üçgen piramit, bir yüzü taban olan ve diğer üç yüzü yan yüzeyler olan bir tetrahedronun özel bir halidir. Bu nedenle, tüm üçgen piramitler tetrahedron, ancak tüm tetrahedronlar mutlaka bir taban olarak belirlenmiş bir yüze sahip değildir.

Taban kenar uzunluğu 3 olan düzenli bir üçgen piramidin hacmi nedir?

Sadece düzenli bir tetrahedron veya düzenli üçgen piramit (tüm kenarların eşit olduğu), hacmi şu formülle hesaplanır: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ $a = 3$ yerine konursa: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

Düzenli bir üçgen piramidin hacmi 3.182 cm³’tür.

Not: “Düzenli üçgen piramit” terimi, tabanı düzenli bir üçgen olan ve eşit yan kenarlarla eş olmayan bir piramidi ifade ederse, bu durumda hacim formülü piramidin yüksekliğine ve taban alanına bağlı olacaktır. Bu durumda hacim formülü piramidin yüksekliğine ve taban alanına bağlı olacaktır.