等腰三角形高度计算器

什么是等腰三角形的高度

等腰三角形的高度是从顶点（即两个相等边相遇的点）到三角形底边或底边延长线画出的垂线。在等腰三角形中，两条边长相等（称为腰），第三边为底边。顶点到底边的高度将底边分成两段相等的线段，并在顶点作为角平分线。您可以使用我们的等腰三角形计算器来计算其面积和周长。

等腰三角形高度的特征

在等腰三角形中，从顶点到底边的高度具有多种显著特征：

• 它将底边分为两个相等的部分。
• 它充当三角形的中线。
• 它是顶点的角平分线。
• 它与底边垂直。

从底角到腰的高度有其自身的特征：

• 它等于从相对底角向上的高度。
• 它与腰形成直角。
• 它将腰分为不等的线段。

计算高度的公式

顶点的高度 (h₁)

1. 使用边和底： $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. 使用面积和底： $h_1 = \frac{2S}{b}$

3. 使用底角和边： $h_1 = a \sin{\alpha}$

底角的高度 (h₂)

1. 使用顶角和边： $h_2 = a \sin{\beta}$

2. 使用边和底。首先，我们将使用顶角的高度公式： $h_2 = a \sin{\beta}$ 其中角 $\beta$ 的计算为： $\beta = 180° - 2\alpha$, 其中 $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. 使用面积和边： $h_2 = \frac{2S}{a}$

示例计算

示例 1

给定：边 $a = 10$ cm，底边 $b = 12$ cm。 查找：顶点的高度 $h_1$

解法： $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

示例 2

给定：面积 $S = 60 \text{ cm}^2$，底边 $b = 10 \text{ cm}$ 查找：顶点的高度 $h_1$

解法： $h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

示例 3

给定：顶角 $\beta = 36°$，侧边 $a = 15 \text{ cm}$ 查找：顶点的高度 $h_2$

解法： $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

示例 4

给定：面积 $S = 40 \text{ cm}^2$，侧边 $a = 13 \text{ cm}$ 查找：底角的高度 $h_2$

解法： $h_2 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

重要说明

1. 计算高度时，记住在等腰三角形中：

   • 侧边相等。
   • 底角相等。
   • 所有角的总和等于180°。

2. 考虑三角形元素之间的关系：

   • 如果 $\alpha$ 是底角，则 $\beta = 180° - 2\alpha$
   • 如果 $\beta$ 是顶角，则 $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. 根据角度，高度可以画在三角形的内部或外部：

   • 如果顶角是锐角，则高度在三角形内。
   • 如果顶角是钝角，则高度在三角形外。
   • 如果顶角是直角，则高度与侧边重合。

常见问题

如何找到等腰三角形的高度，如果边长为 $a = 17 \text{ cm}$ 且底角为 $\alpha = 42°$？

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

顶点的高度与底角的高度有什么区别？

顶点的高度是测量到底边并且平分顶角，而底角的高度则是测量到侧边，没有特殊性质，除了垂直于该侧。

等腰三角形的高度可以大于其侧边吗？

不可以，高度总是小于侧边，因为它充当直角三角形的一个对边，而侧边是直角三角形的斜边。

如果增加底边长度而侧边保持不变，高度会如何变化？

增加底边长度将减少从顶点到底的高度，而从底角的高度会先增加然后减少。

如果面积为 $S = 48 \text{ cm}^2$ 且底边为 $b = 16 \text{ cm}$，如何找到等腰三角形的高度？

$h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

当等腰三角形的侧边等于底边时，它的高度是多少？

在这种情况下，三角形是等边三角形，高度计算为： $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ 其中 $a$ 是三角形的边长。