贝叶斯定理

简单语言中的基础

贝叶斯定理帮助你根据新信息调整你的信念。把它想象成一种数学工具，用来回答：“现在我看到证据后，我的猜测有多大可能？”的问题。

设想你试图弄清楚今天会不会下雨。贝叶斯定理使用三个关键信息：

1. 你的初始猜测（例如，下雨的可能性为20%）。
2. 如果你的猜测是真的，证据的可能性有多大（例如，下雨时有90%的可能性出现乌云）。
3. 证据通常发生的频率有多高（例如，任何一天都有10%的可能性出现乌云）。

公式将这些结合起来给你一个更新后的概率：

尝试计算器

这个工具可以帮助你解决任何缺失的值。只需填写三个百分比（0-100%）并选择要计算的内容：

示例：
如果你看到乌云（证据），计算器可能会告诉你，降雨的机率从20%跳升到64%。

现实生活中的例子

1. 医学测试：为什么“95%准确”可能会误导

• 先验：只有1%的人有X病。
• 似然性：测试对病人95%准确。
• 误报率：测试对健康人有5%的误差。
• 总证据：
  $(95\% \times 1\%) + (5\% \times 99\%) = 5.9\%$
• 更新信念：
  $\frac{95\% \times 1\%}{5.9\%} \approx 16\%$
  阳性测试只意味着16%的风险，而不是95%！

2. 垃圾邮件：为什么“免费”会触发过滤器

• 先验：2%的邮件是垃圾邮件。
• 似然性：80%的垃圾邮件中有“免费”一词。
• 误报率：0.1%的真实邮件中有“免费”一词。
• 更新信念：
  $\frac{80\% \times 2\%}{(80\% \times 2\%) + (0.1\% \times 98\%)} \approx 94\%$
  含有“免费”一词的邮件有94%的概率是垃圾邮件。

逐步计算器指南

情境：你想知道在阳性测试后患有稀有过敏症的几率（先验为1%）（如果真有过敏，测试准确度为90%，误报率为8%）。

1. 输入先验：1%（过敏症有多常见）。
2. 输入似然性：90%（如果有过敏症时的测试准确率）。
3. 输入总证据：
   $(90\% \times 1\%) + (8\% \times 99\%) = 8.82\%$
4. 计算后验：
   $\frac{90\% \times 1\%}{8.82\%} \approx 10.2\%$
   结果：阳性测试只意味着只有10%的可能性你真的患有它！

避免的常见错误

1. 忽视基础率：不要忘记初始概率（例如，稀有疾病即使在阳性测试后仍然是稀有的）
2. 混淆“准确度”：一个测试的“95%精准度”并不意味着你生病的概率为95%；这取决于疾病的普遍性
3. 忘记误报：始终问自己，“这种证据偶然发生的频率有多高？”

为什么今天的贝叶斯定理很重要？

• AI和Netflix推荐：根据你观看的内容更新预测。
• 自动驾驶汽车：使用实时传感器数据调整决策。
• COVID测试：帮助解释低风险和高风险群体中的结果。

常见问题

我可以用百分比代替小数吗？

可以！计算器可以处理0–100%的输入（不需要0.05 = 5%这样的转换）。

如果我不知道“总证据”该怎么办？

在工具中选择“计算P(E)”。它使用以下公式：
$P(E) = (P(E|H) \times P(H)) + (\text{误报率} \times (100\% - P(H)))$

贝叶斯定理能处理多次更新吗？

当然可以！使用后验（更新的信念）作为你的新先验值来评估下一项证据。