P值计算器

什么是 p 值？

p 值量化了在假设**零假设（H₀）**为真的情况下，观察到与研究结果同样极端的结果的概率。它回答的问题是：“如果零假设为真，我的数据出现的可能性有多大？”

关键定义

• 零假设（H₀）：默认假设（例如“无效应”）。
• 备择假设（H₁）：被检验的假设（例如“存在效应”）。
• 检验统计量：根据样本数据计算的标准值（如 Z 分数、t 分数）。

历史背景

p 值在 20 世纪 20 年代由罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher）推广。他提出将0.05作为统计显著性的阈值，这一惯例至今仍有争议。

公式

p 值取决于检验统计量和假设检验的类型：

通用公式

$$\text{p值} = \begin{cases} P(S \leq x \mid H₀) & \text{(左尾)} \\ P(S \geq x \mid H₀) & \text{(右尾)} \\ 2 \times \min\left\{P(S \leq x \mid H₀), P(S \geq x \mid H₀)\right\} & \text{(双尾)} \end{cases}$$

其中，$S$为检验统计量，$x$为其观测值。

Z 检验

对于 Z 分数为$Z$的 Z 检验：

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$

• 左尾：$\Phi(Z)$
• 右尾：$1 - \Phi(Z)$
• 双尾：$2 \times \Phi(-|Z|)$

t 检验

对于 t 分数为$t$且自由度$df = n-1$的 t 检验：

$$t = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$$

• 左尾：$T\_{df}(t)$
• 右尾：$1 - T\_{df}(t)$
• 双尾：$2 \times T\_{df}(-|t|)$

卡方（χ²）检验

对于自由度为$k$的 χ² 分数：

• 左尾：$\chi²\_{k}(x)$
• 右尾：$1 - \chi²\_{k}(x)$

F 检验

对于自由度为$(d₁, d₂)$的 F 分数：

• 左尾：$F\_{d₁,d₂}(x)$
• 右尾：$1 - F\_{d₁,d₂}(x)$

示例

示例 1：总体均值的 Z 检验

场景：某工厂声称灯泡寿命为 1200 小时。50 个灯泡的样本均值为$\bar{X} = 1180$，标准差$\sigma = 100$。检验均值是否低于声称值。
解答：

$$Z = \frac{1180 - 1200}{100 / \sqrt{50}} \approx -1.414$$

• 左尾 p 值：$\Phi(-1.414) \approx 0.078$。
  结论：在$\alpha = 0.05$水平下无法拒绝 H₀。

示例 2：卡方独立性检验

场景：一项调查检验性别（男/女）与偏好（是/否）是否独立。观测到 χ² = 6.25，自由度$df = 1$。
解答：

• 右尾 p 值：$1 - \chi²\_{1}(6.25) \approx 0.012$。
  结论：在$\alpha = 0.05$水平下拒绝 H₀。

解读指南

• p 值 < 0.01：有强证据反对 H₀。
• 0.01 ≤ p 值 < 0.05：有中等证据反对 H₀。
• p 值 ≥ 0.05：证据不足以拒绝 H₀。

常见误解

1. 误解：高 p 值“证明”H₀ 为真。
   事实：仅表明反对 H₀ 的证据不足。
2. 误解：p 值 = H₀ 为真的概率。
   事实：p 值基于 H₀ 为真的假设，并不衡量 H₀ 本身的可能性。

常见问题

p 值可以为负数吗？

不能。p 值表示概率，取值范围为 0 到 1。

如何解释 p 值为 0.07？

在$\alpha = 0.05$水平下无法拒绝 H₀。但该结果接近显著性边界，需进一步研究。

为什么 0.05 是常用的显著性水平？

费舍尔推广的 0.05 平衡了 I 类错误（假阳性）和检验敏感性。但该值是人为设定的，不同领域可能不同（如物理学使用$5\sigma$，对应$p \approx 3 \times 10^{-7}$）。

样本量如何影响 p 值？

样本量越大，检验敏感性越高，越容易检测到微小效应。报告 p 值时应同时说明效应量（如 Cohen’s d）。

单尾检验和双尾检验有何区别？

• 单尾：检验单一方向的效应（如“大于”）。
• 双尾：检验任意方向的效应。使用双倍尾部概率。